Dengan caranya sendiri, matematika murni adalah puisi ide-ide logis.
• Albert Einstein
Tanpa matematika, tidak ada hal apapun yang anda dapat lakukan. Segala sesuatu di sekitar anda adalah matematika. Segala sesuatu di sekitar anda adalah angka-angka.
• Shakuntala Devi
Sederhana saja. Bagaimana menghitung 4x6? Mudah dan sudah pasti. Caranya: tambahkan
kata "dari" setelah tanda x. Jadi, 4x6=4x "dari" 6. Jadi, 4x6= 6+6+6+6=
24. Tidak ada lagi yang perlu diperdebatkan. Selesai. Titik.
Bagaimana dengan 6x4? Sama caranya. Tambahkan kata "dari" setelah tanda x. Jadi, 6x4= 6x "dari" 4. Jadi, 6x4= 4+4+4+4+4+4= 24.
Jadi, walaupun 4x6 itu hasilnya sama dengan 6x4, tapi pengoperasiannya beda, karena keduanya memang beda. Dalam aritmetika, dua perkalian ini komutatif hanya sejauh menyangkut hasil; dan tidak komutatif sejauh menyangkut pengoperasian (atau Bu guru SD bilang "jalannya").
Penambahan kata "dari" setelah tanda x sama sekali tidak subjektif, sebab tanda x menyatakan "kelipatan/lipat dari", atau ringkas ditulis "x dari". No debate!
Supaya tidak abstrak, baiklah saya pakai ilustrasi buah apel dalam keranjang. Saya punya 4 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 6 apel. Nah, berapa jumlah keseluruhan apel yang saya miliki? Beri jawabannya lewat pengoperasian aritmetis. Jawabannya adalah 4x6 apel= 6 apel+6 apel+6 apel+6 apel = 24 apel. Pengoperasian ini tidak komutatif. Anda tidak bisa menulis pengoperasiannya: 4x6 apel= 4 apel+4 apel+4 apel+4 apel+4 apel+4 apel = 24 apel. Walaupun hasilnya sama (24 apel), pengoperasian yang kedua salah, karena pengoperasian ini menyatakan bahwa saya memiliki 6 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 4 apel. Jelas sekali, bukan?
Bagaimana dengan 6x4? Sama caranya. Tambahkan kata "dari" setelah tanda x. Jadi, 6x4= 6x "dari" 4. Jadi, 6x4= 4+4+4+4+4+4= 24.
Jadi, walaupun 4x6 itu hasilnya sama dengan 6x4, tapi pengoperasiannya beda, karena keduanya memang beda. Dalam aritmetika, dua perkalian ini komutatif hanya sejauh menyangkut hasil; dan tidak komutatif sejauh menyangkut pengoperasian (atau Bu guru SD bilang "jalannya").
Penambahan kata "dari" setelah tanda x sama sekali tidak subjektif, sebab tanda x menyatakan "kelipatan/lipat dari", atau ringkas ditulis "x dari". No debate!
Supaya tidak abstrak, baiklah saya pakai ilustrasi buah apel dalam keranjang. Saya punya 4 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 6 apel. Nah, berapa jumlah keseluruhan apel yang saya miliki? Beri jawabannya lewat pengoperasian aritmetis. Jawabannya adalah 4x6 apel= 6 apel+6 apel+6 apel+6 apel = 24 apel. Pengoperasian ini tidak komutatif. Anda tidak bisa menulis pengoperasiannya: 4x6 apel= 4 apel+4 apel+4 apel+4 apel+4 apel+4 apel = 24 apel. Walaupun hasilnya sama (24 apel), pengoperasian yang kedua salah, karena pengoperasian ini menyatakan bahwa saya memiliki 6 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 4 apel. Jelas sekali, bukan?
Nah, untuk membuat anda yakin
seyakin-yakinnya bahwa pengoperasian perkalian yang sudah saya
bentangkan ini benar, saya mau membalik soalnya. Di atas itu perkalian
diubah menjadi penjumlahan. Nah, bagaimana kalau penjumlahan diubah jadi
perkalian? Simaklah pengoperasian penjumlahan berikut ini.
Bagaimana mengubah 6+6+6+6 menjadi perkalian? Kalimat aritmetisnya: 6+6+6+6 = ..?.. x ..?.. Karena kita mau membuat perkalian, ya kita mulai cukup dengan bertanya, ada berapa kali angka 6 dalam kalimat aritmetis itu? Jawabnya: ada 4 kali. Dus, perkaliannya menjadi 4x6. Jadi, 6+6+6+6 = 4x6. Selesai! Titik. No debate!
Bagaimana mengubah 4+4+4+4+4+4 menjadi perkalian? Caranya sama. Tanyalah ada berapa kali angka 4 dalam kalimat aritmetis ini. Jawabnya: ada 6 kali. Dus, perkaliannya menjadi 6x4. Jadi, 4+4+4+4+4+4=6x4. Selesai. Titik. No debate!
Baiklah kita pakai juga ilustrasi buah apel dalam keranjang untuk aritmetis di atas. Saya punya 4 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 6 apel. Kalimat aritmetis penjumlahannya: 6 apel+6 apel+6 apel+6 apel. Bagaimana cara mengubah penjumlahan ini menjadi perkalian? Anda tidak bisa menulis 6x4 apel (ini artinya saya memiliki 6 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 4 apel), tetapi hanya 4 x 6 apel (ini sesuai fakta bahwa saya memiliki 4 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 6 apel). Jelaslah, 6x4 apel tidak sama dengan 4x6 apel!
Penulisan yang benar adalah 4x6 apel. Penulisan 6 apel x 4 tidak benar atau tidak lazim; kalaupun anda mau memakainya, pengoperasiannya haruslah menghasilkan penjumlahan yang sama: 6 apel + 6 apel + 6 apel +6 apel = 24 apel, dan sama sekali tidak bisa 4 apel + 4 apel + 4 apel + 4 apel + 4 apel + 4 apel.
Karena mengikuti logika yang termuat dalam kalimat-kalimat aritmetisnya sendiri, tidak diintervensi oleh ide-ide dari luar, maka pengoperasian yang sudah saya beberkan di atas berlaku universal. Anda tidak bisa ajukan pengertian sendiri yang sembarangan, semau gua. Tidak ada aritmetika atau matematika Jawa atau Sunda atau Jerman atau Inggris, atau aritmetika si Butet atau matematika si Marpaung atau si Anick.
Seluruh paparan saya di atas teringkas hanya dalam beberapa baris berikut di bawah ini. Variabel-variabel yang saya pakai beda, tidak sama, yakni keranjang dan apel, untuk menunjukkan keunggulan logika yang saya temukan dalam setiap pengoperasian aritmetik. Kalau anda pakai (seolah-olah) 2 variabel (6 apel kali 4 apel, atau 6 kelereng kali 4 kelereng), tetapi senyata-nyatanya variabelnya sama (apel dan apel, atau kelereng dan kelereng), anda hanya jalan di tempat, tidak bisa menemukan pemecahan logika aritmetiknya, dan akhirnya tidak bisa menemukan logika internal aritmetisnya. Justru kalau anda pakai 2 variabel berbeda, seperti sudah saya perlihatkan, pengoperasian aritmetisnya tertantang serius lalu menunjukkan logika internalnya sendiri. Ini logika internal pengoperasian aritmetis:
4 keranjang @ 6 apel = 4x6 apel = 6 apel+6 apel+6 apel+6 apel = 24 apel; dan sudah pasti bukan 4 keranjang + 4 keranjang + 4 keranjang+ 4 keranjang + 4 keranjang + 4 keranjang = 24 keranjang.
Lagi. 6 keranjang @ 4 apel = 6x4 apel = 4 apel + 4 apel + 4apel + 4 apel + 4 apel + 4 apel = 24 apel; dan sudah pasti bukan 6 keranjang + 6 keranjang + 6 keranjang + 6 keranjang = 24 keranjang.
Jadi, dengan memakai keranjang dan apel sebagai dua variabel penjelas yang berbeda, berlakulah 4x6= 6+6+6+6; dan 6x4= 4+4+4+4+4+4. Itulah logika internal aritmetik. Tidak bisa lain. Jelas ya. No debate.
Matematika dan aritmetika termasuk bidang ilmu pengetahuan yang tidak bergantung konteks, dus tidak bisa fleksibel. Ada beberapa ilmu pengetahuan yang fleksibel atau bergantung pada konteks, misalnya sosiologi (dengan bermacam-macam bidang kajian), antropologi, linguistik, dan dalam batas-batas tertentu psikologi.
Persamaan matematis Einstein E=mc^2, misalnya, adalah persamaan yang berlaku universal dan sejauh ini abadi. Tidak bisa luwes dan tidak bisa bergantung konteks.
Hanya di Indonesia aritmetika kelas 2 SD ini masih diperdebatkan. Sangat aneh dan ketinggalan zaman. Memalukan, tidak?!
Mari kita tengok persamaan matematis di atas ini, salah satu rancangan cerdas untuk mencapai penemuan suatu Theory of Everything (ToE). Banyak usaha sedang dijalankan para fisikawan sedunia untuk melahirkan sebuah persamaan matematis baru yang bisa menggabung empat gaya dalam jagat raya, yakni gaya elektromagnetik, gaya nuklir kuat, gaya nuklir lemah, dan gaya gravitasi.
Bagaimana mengubah 6+6+6+6 menjadi perkalian? Kalimat aritmetisnya: 6+6+6+6 = ..?.. x ..?.. Karena kita mau membuat perkalian, ya kita mulai cukup dengan bertanya, ada berapa kali angka 6 dalam kalimat aritmetis itu? Jawabnya: ada 4 kali. Dus, perkaliannya menjadi 4x6. Jadi, 6+6+6+6 = 4x6. Selesai! Titik. No debate!
Bagaimana mengubah 4+4+4+4+4+4 menjadi perkalian? Caranya sama. Tanyalah ada berapa kali angka 4 dalam kalimat aritmetis ini. Jawabnya: ada 6 kali. Dus, perkaliannya menjadi 6x4. Jadi, 4+4+4+4+4+4=6x4. Selesai. Titik. No debate!
Baiklah kita pakai juga ilustrasi buah apel dalam keranjang untuk aritmetis di atas. Saya punya 4 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 6 apel. Kalimat aritmetis penjumlahannya: 6 apel+6 apel+6 apel+6 apel. Bagaimana cara mengubah penjumlahan ini menjadi perkalian? Anda tidak bisa menulis 6x4 apel (ini artinya saya memiliki 6 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 4 apel), tetapi hanya 4 x 6 apel (ini sesuai fakta bahwa saya memiliki 4 keranjang dengan masing-masing keranjang berisi 6 apel). Jelaslah, 6x4 apel tidak sama dengan 4x6 apel!
Penulisan yang benar adalah 4x6 apel. Penulisan 6 apel x 4 tidak benar atau tidak lazim; kalaupun anda mau memakainya, pengoperasiannya haruslah menghasilkan penjumlahan yang sama: 6 apel + 6 apel + 6 apel +6 apel = 24 apel, dan sama sekali tidak bisa 4 apel + 4 apel + 4 apel + 4 apel + 4 apel + 4 apel.
Karena mengikuti logika yang termuat dalam kalimat-kalimat aritmetisnya sendiri, tidak diintervensi oleh ide-ide dari luar, maka pengoperasian yang sudah saya beberkan di atas berlaku universal. Anda tidak bisa ajukan pengertian sendiri yang sembarangan, semau gua. Tidak ada aritmetika atau matematika Jawa atau Sunda atau Jerman atau Inggris, atau aritmetika si Butet atau matematika si Marpaung atau si Anick.
Seluruh paparan saya di atas teringkas hanya dalam beberapa baris berikut di bawah ini. Variabel-variabel yang saya pakai beda, tidak sama, yakni keranjang dan apel, untuk menunjukkan keunggulan logika yang saya temukan dalam setiap pengoperasian aritmetik. Kalau anda pakai (seolah-olah) 2 variabel (6 apel kali 4 apel, atau 6 kelereng kali 4 kelereng), tetapi senyata-nyatanya variabelnya sama (apel dan apel, atau kelereng dan kelereng), anda hanya jalan di tempat, tidak bisa menemukan pemecahan logika aritmetiknya, dan akhirnya tidak bisa menemukan logika internal aritmetisnya. Justru kalau anda pakai 2 variabel berbeda, seperti sudah saya perlihatkan, pengoperasian aritmetisnya tertantang serius lalu menunjukkan logika internalnya sendiri. Ini logika internal pengoperasian aritmetis:
4 keranjang @ 6 apel = 4x6 apel = 6 apel+6 apel+6 apel+6 apel = 24 apel; dan sudah pasti bukan 4 keranjang + 4 keranjang + 4 keranjang+ 4 keranjang + 4 keranjang + 4 keranjang = 24 keranjang.
Lagi. 6 keranjang @ 4 apel = 6x4 apel = 4 apel + 4 apel + 4apel + 4 apel + 4 apel + 4 apel = 24 apel; dan sudah pasti bukan 6 keranjang + 6 keranjang + 6 keranjang + 6 keranjang = 24 keranjang.
Jadi, dengan memakai keranjang dan apel sebagai dua variabel penjelas yang berbeda, berlakulah 4x6= 6+6+6+6; dan 6x4= 4+4+4+4+4+4. Itulah logika internal aritmetik. Tidak bisa lain. Jelas ya. No debate.
Matematika dan aritmetika termasuk bidang ilmu pengetahuan yang tidak bergantung konteks, dus tidak bisa fleksibel. Ada beberapa ilmu pengetahuan yang fleksibel atau bergantung pada konteks, misalnya sosiologi (dengan bermacam-macam bidang kajian), antropologi, linguistik, dan dalam batas-batas tertentu psikologi.
Persamaan matematis Einstein E=mc^2, misalnya, adalah persamaan yang berlaku universal dan sejauh ini abadi. Tidak bisa luwes dan tidak bisa bergantung konteks.
Hanya di Indonesia aritmetika kelas 2 SD ini masih diperdebatkan. Sangat aneh dan ketinggalan zaman. Memalukan, tidak?!
Mari kita tengok persamaan matematis di atas ini, salah satu rancangan cerdas untuk mencapai penemuan suatu Theory of Everything (ToE). Banyak usaha sedang dijalankan para fisikawan sedunia untuk melahirkan sebuah persamaan matematis baru yang bisa menggabung empat gaya dalam jagat raya, yakni gaya elektromagnetik, gaya nuklir kuat, gaya nuklir lemah, dan gaya gravitasi.
Bagi para saintis, seperti dikatakan Stefan Banach, matematikus Polandia, “Matematika adalah ciptaan terindah dan terkuat roh manusia.” Apakah anda melihat keindahan persamaan matematis di atas? Mustinya ya.
Para ilmuwan mendambakan persamaan
matematis gabungan ToE, yang panjangnya hanya maksimal 2 cm (seperti
E=mc^2), bisa dilahirkan. M-theory tampaknya akan menjadi muara
pencarian ini. Jika persamaan gabungan ini sudah didapat, bisa jadi
itulah the theory of everything yang sudah lama dicari para saintis.
Itu mereka. Kita, di Indonesia, masak masih meributkan soal pengoperasian matematis kelas 2 SD???
• Diedit 30 Juni 2023
• Diedit 30 Juni 2023
